kensiroukun’s diary

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気まぐれ高校物理Ⅱ 万有引力による運動を解いていく! 

 今回は僕が、まあまあ得意教科である物理の問題を出して、それを解いていくコーナーです。今回は万有引力関係の問題についていくつか出していこうと思います。

高校の教科書レベルなので、中間期末の勉強として見てくれ~

受験する人たちには簡単すぎるかも? それではやっっていきます!

暇つぶしに解くのもありです!

答えはまとめて下に記載します。

難易度に関しては僕が基準なので、あまり気にせず行きましょう。

皆さんは紙と鉛筆を用意しましょう。

 

問1 難易度★ 1.0m離れた質量10㎏の2物体の間にはたらく万有引力の大きさは何Nか。ただし、万有引力定数を6.7×10^⁻11N・㎡/㎏²とする。
 
 
 ヒント:万有引力の公式は F=G・Mm/r²だったよね。 文字が打ちにく、見にくくてごめんね。
 
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問2  難易度★★ 地球と木星の公転軌道をほぼ円とみなす。地球と木星は太陽方向のみを向く力を受けて運動している。地球の公転半径をαとし、木星の公転半径を5倍の5αとする
 
(1) それぞれの惑星の公転周期をT、T´とする。地球の公転周期を1年として、木星の公転周期は約何年か?有効数字2桁で答えよ。
 
ヒント:まずケプラーの第三法則の式を立ててみようか。そこから、木星の公転周期T´を求めればいいだけ。
 
問3 難易度★★★ 質量mの惑星が質量Mの恒星のまわりを半径rの等速円運動でぐるぐる回っている。このとき、万有引力定数をGとする。
 
(1)恒星と惑星間にはたらく万有引力の大きさはいくらか。
 
(2)円運動をする惑星の速さはいくらか。
 
 ヒント:万有引力の法則は大丈夫だよね。
問題は(2)、円運動する速さを求める場合にはちょっと頭をひねらないといけない。 力の方向を矢印で書いてみると何かひらめくかもしれないぞ。
 
 
問4 難易度★★★ 地表における重力加速度の大きさをg、地球の半径をrとする。
 
(1) 地表から高さhの地点に、質量mの物体がある。その物体が受ける 重力の大きさはいくらか。ただし、地球の質量をMとする。
 

 

(2) 地表から高さhの地点での重力加速度g´はいくらか。

 

 

(3) h=rのとき、g´はgの何倍か。ただし分数で答えよ。

 

ヒント:ちょっとつまずいたかもしれませんが、(1)は重力自体が万有引力ですよね。

それと勝手に仮定した万有引力定数Gはそのまま答えに書いてはいけないよ。どうすればGが消えるか考えよう

(3)はそのまま、代入してみよう。きれいな数値になるよ。

 

 

問5 難易度★★ 太陽の周りを楕円軌道を描きながら運動している惑星がある。</ 惑星が太陽に最も近づくときの距離をr、その位置での速さをvとする。 太陽から最も遠ざかるときの距離を2rとする。 その位置での速さv´を求めよ。

 

ヒント:まずは作図をしてみよう。そしてその面積に注目してみよう。

 

解答・解説

問1 2物体間にはたらく万有引力は F=G・Mm/r²で表せたよね。

当てはめていくと、F=6.7×10^−11・10・10/1.0²よって6.7×10^−9Nが答え

 

問2  (1) ケプラーの第三法則は中心天体(太陽)を同一にもつ異なる軌道間であるとき、公転周期²/半径³は一定になる法則。

よって、地球と木星ケプラーの第三法則が成り立ちます。

よってT²/α³=T´²/(5α)³が成り立つ。

地球の公転周期を1年とするから、T=1 を代入する。

1²/α³=T´²/(5α)³ 両辺を×(5α)³して (5α)³/α³=T´²

5³=T´² T´=5√5 √5≒2.23なので T´=5×2.23=11

よって11年が答え

 

問3 (1) 万有引力は F=G・Mm/r²が答え

(2) 円運動による遠心力と、万有引力はつり合いの関係にあるよね。

遠心力は運動方程式より、F=ma ① 円運動より、a=vω v=rω

ω=v/rになり a=v²/rになる。後は①に代入して、F=m・v²/r②となる。

これをそのまま覚えてもいいけどね。(僕はいちいち代入しています。)

あとは万有引力F=G・Mm/r²とイコールを結べばよい。

m・v²/r=G・Mm/r² あとはvを求めるだけ。

答えはv=√GM/rになります。

 

問4 (1) 万有引力はF=G・Mm/(r+h)² ①だよね。

今回はGは勝手に置いちゃっているから、後で消さないといけない。

そこで、地表ではmg=G・Mm/r²が成り立つよね。

よって変形して、GM=gr²になる。

これを①に代入すると、F=r²・mg/(r+h)²となる。

重力と万有引力は等しいよね。よって答え。

 

(2) 高さh地点ではたらく重力の大きさは(1)で求めた答えとイコールになるよね。よって mg´=r²・mg/(r+h)² よってmが消えて

g´=r²・g/(r+h)²が答え

 

(3)h=rとするから、 g´=r²・g/(r+r)²になり分母が4r²になり

g/4が残るよって g´=g/4 よって1/4倍になる。

 

問5 一見難しいように見えるが、面積速度一定の法則を使えば一発だ。

そのためにまず作図をしてみよう。

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この二つの面積は等しくなるのがこの法則だ

あとは面積同士をイコールで結べばよい。

よって2rv´/2=rv/2 分母の2を消すため両辺×2をしましょう。

2rv´=rvよってv´=rv/2r よってv/2が答え。

 

 

 

 

 

おわりに

どうでしたか?万有引力の問題は入試でも頻出問題だそうです。受験する人はしっかり備えておきましょう。
今回厳選したレベルは教科書レベルです。上を行きたい場合には、参考書を買うことをおススメします。
そして物理で受験するのに物理が苦手だと思う人はこちらの参考書がおすすめです。